함께 배우는 수업 · 수학

연립일차방정식 (가감법과 대입법)

미지수가 2개인 두 일차방정식을 한 쌍으로 묶어 가감법·대입법으로 문자를 소거하고, 해가 무수히 많거나(부정) 해가 없는(불능) 특수한 연립방정식과 실생활 활용까지 완벽히 정복합니다.

이 수업에서 해 볼 일

두 조건을 연립해 해를 구하고 양쪽 식에 대입한다

먼저 알면 좋은 것: 일차방정식의 해법 · 다항식의 사칙연산과 분배법칙 · 비례식과 백분율

오늘의 목표

가입 없이 시작할 수 있어요. 설명을 읽고, 함께 연습한 뒤, 처음 보는 문제에서 직접 확인합니다.

판단 과정과 비교 사례

연립방정식의 해는 모든 식을 동시에 만족하는 값의 순서쌍이다. 한 식에만 맞는 값을 찾고 끝내지 말고 두 식에 각각 대입한다.가감법은 계수를 맞춰 한 미지수를 없애고, 대입법은 한 식에서 정리한 미지수를 다른 식에 넣는다. 어느 방법이든 등식 전체에 같은 연산을 적용한다.두 직선이 한 점에서 만나면 해 하나, 같은 직선이면 무한히 많은 해, 서로 다른 평행선이면 해가 없다. 식 두 개라는 이유만으로 해도 반드시 두 개라고 하지 않는다.

1. 개념 정의와 직관적 원리: 미지수가 2개인 일차방정식과 연립의 의미

미지수가

x, y

두 개이고 그 차수가 모두

1

차인 방정식

ax + by + c = 0 \quad (a, b, c\text{는 상수}, \; a \neq 0, \; b \neq 0)

을 미지수가 2개인 일차방정식이라고 합니다. 예를 들어

x + y = 5

를 참이 되게 하는 순서쌍

(x, y)

는 자연수 범위에서는

(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)

의

4

쌍뿐이지만, 수의 범위를 실수 전체로 넓히면

(0.5, 4.5), (-1, 6)

등 해가 무수히 많고 좌표평면 위에서 하나의 직선을 이룹니다. 따라서 두 개의 조건을 동시에 만족하는 단 한 쌍의 공통인 해 $(x, y)$ 를 확정하기 위해 미지수가 2개인 두 일차방정식을 한 쌍으로 묶어 놓은 것을 연립일차방정식(System of Linear Equations)이라고 합니다:

\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}

연립방정식을 푸는 대원칙은 "미지수 2개짜리 식 두 개를 엮어 미지수 1개를 없애고(소거, Elimination), 우리가 이미 잘 아는 미지수 1개짜리 일차방정식으로 차원을 낮추는 것"입니다.🎯 가감법 부호 결정 공식 '같빼다더': 소거하려는 미지수의 계수의 절댓값을 맞춘 뒤, 두 계수의 '부호가 같으면 빼고(같빼)', '부호가 다르면 더한다(다더)'를 기억하면 부호 실수를 완벽히 막을 수 있습니다!

2. 핵심 공식 유도 및 성질: 가감법·대입법과 A = B = C 꼴 방정식

1) 가감법(Elimination by Addition/Subtraction) vs 대입법(Substitution): - 가감법이 유리한 경우: 두 식 모두

ax + by = c

표준형으로 정리되어 있을 때, 없애려는 문자의 계수의 최소공배수가 되도록 각 식의 양변에 적당한 수를 곱한 뒤 변끼리 더하거나 뺍니다. - 대입법이 유리한 경우: 두 식 중 하나가 이미

y = 2x - 1

또는

x = 3y + 4

처럼 한 문자에 관하여 정리되어 있을 때, 다른 식의 그 문자 자리에 괄호를 쳐서 대입합니다. 2) $A = B = C$ 꼴의 연립방정식 해법: 등호가 연달아 두 개 있는

A = B = C

꼴은 다음 세 가지 묶음 중 가장 간단한 두 식을 골라 연립방정식을 세웁니다:

\begin{cases} A = B \\ A = C \end{cases} \quad \text{또는} \quad \begin{cases} A = B \\ B = C \end{cases} \quad \text{또는} \quad \begin{cases} A = C \\ B = C \end{cases}

- 특급 꿀팁: 만약

C

가 미지수가 없는 상수(숫자)(예:

2x + y = 3x - 2y = 7

)라면, 무조건 상수

C

를 두 번 모두 사용하는 $\begin{cases} A = C \\ B = C \end{cases}$ (

\begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 7 \end{cases}

)로 묶는 것이 계산이 압도적으로 빠릅니다!

예제로 살펴보기

연립방정식 (x + y)/2 = (2x - y)/3 = 3 의 해 (x, y)를 구하시오.

1) A = B = C 꼴에서 맨 끝의 C = 3 이 상수이므로, { A = 3, B = 3 } 형태로 묶는 것이 가장 빠릅니다! 2) 첫째 식: (x + y)/2 = 3 의 양변에 2를 곱하면 x + y = 6 --- (ㄱ) 3) 둘째 식: (2x - y)/3 = 3 의 양변에 3을 곱하면 2x - y = 9 --- (ㄴ) 4) (ㄱ)과 (ㄴ)에서 y의 계수가 +1과 -1로 부호가 다르므로 두 식을 변끼리 더합니다(다더): (x + 2x) + (y - y) = 6 + 9 → 3x = 15 → x = 5 5) x = 5를 (ㄱ)에 대입하면 5 + y = 6 → y = 1. 따라서 해는 x = 5, y = 1 입니다.

확인: 연립일차방정식은 가감법이나 대입법을 이용해 두 미지수 중 하나를 소거하여 일차방정식으로 바꾸어 푼다.

3. 심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 특수한 해(부정·불능)와 소금물 농도·일 문제

1) 해가 특수한 연립방정식 — 부정(무수히 많다)과 불능(해가 없다): 연립방정식

\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}

을 가감법으로 소거했을 때

x

와

y

가 동시에 다 사라지는 경우가 있습니다. 계수들의 비율로 즉시 판별합니다: - 해가 오직 한 쌍 존재할 조건:

\frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}

(두 직선이 한 점에서 교차) - 해가 무수히 많을 조건 (부정, Indeterminate):

\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} \quad (\text{정리하면 } 0x + 0y = 0 \text{ 꼴 — 두 식이 완전히 일치!})

- 해가 하나도 없을 조건 (불능, Impossible):

\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'} \quad (\text{정리하면 } 0x + 0y = k \neq 0 \text{ 꼴 — 두 직선이 평행!})

2) 실생활 문장제 활용 2대 필수 공식: - 소금물의 농도 문제: 첫 번째 식은 '소금물의 총양 보존'으로 세우고, 두 번째 식은 절대 변하지 않는 '순수 소금의 양 보존'으로 세웁니다!

(\text{소금물의 농도 }\%) = \frac{\text{소금의 양}}{\text{소금물의 양}} \times 100 \quad \Longleftrightarrow \quad (\text{소금의 양}) = \frac{\text{농도}(\%)}{100} \times (\text{소금물의 양})

- 일(Work) 문제: 전체 일의 양을 숫자 ' $1$ '로 놓고,

A

가 혼자 하루에 하는 일의 양을

x

B

가 혼자 하루에 하는 일의 양을

y

로 설정하여 연립방정식을 세웁니다.⚠️ 소금물 문제 함정 주의: 소금물에 '물'을 더 넣거나 증발시킬 때는 소금의 양이 0g 추가되지만, '소금'을 직접 더 넣을 때는 소금의 양뿐만 아니라 분모인 '소금물 전체의 양'도 넣은 소금만큼 함께 증가한다는 사실을 잊지 마세요!

참고 근거와 확인 범위

OpenStax · Algebra And Trigonometry 2E · 11.1 Systems of Linear Equations: Two Variables ↗
대입법과 소거법으로 두 일차방정식 풀기

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

참고 자료 연결 점검: 2026-11-02. 제작 방식·검수 범위와 수정 기록에서 확인 범위를 볼 수 있습니다. 오류는 상단의 의견 보내기 또는 contact@freelearn.io로 알려 주세요.

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