함께 배우는 수업 · 수학

조건부 확률과 독립시행의 확률

사건의 독립과 종속의 엄밀한 판별법(P(A∩B) = P(A)P(B))과 동일한 조건에서 독립적으로 반복되는 베르누이 시행의 확률 공식(nCr p^r q^(n-r))을 완벽히 마스터합니다.

이 수업에서 해 볼 일

  • 조건이 붙을 때 표본공간을 바꾸어 확률을 구한다

먼저 알면 좋은 것: 순열과 조합(nCr) 및 이항정리 · 조건부 확률 P(A|B) = P(A∩B)/P(B) · 여사건의 확률

오늘의 목표

가입 없이 시작할 수 있어요. 설명을 읽고, 함께 연습한 뒤, 처음 보는 문제에서 직접 확인합니다.

판단 과정과 비교 사례

조건부 확률은 주어진 조건 안으로 표본공간을 좁혀 계산한다. P(A∩B)/P(B)에서 조건 사건 B의 확률이 분모에 들어간다.독립은 한 사건을 안다고 다른 사건의 확률이 바뀌지 않는 관계다. 독립이면 교집합 확률은 곱이며 배반처럼 교집합이 없다는 뜻은 아니다.여러 시행의 확률을 곱할 때는 독립 여부를 확인한다. 주사위가 공정하다는 조건과 조건부로 남은 가능한 눈의 수를 각각 점검한다.

1. 개념 정의와 직관적 원리: 사건의 독립(Independence)과 종속(Dependence)

주사위를 던지거나 제비를 뽑을 때, 먼저 일어난 사건 AA가 나중에 일어날 사건 BB의 확률을 변화시키는가(예: 뽑은 제비를 다시 넣지 않는 비복원추출) 아니면 전혀 영향을 주지 않는가(예: 뽑은 제비를 확인하고 다시 넣는 복원추출)를 수학적으로 구분하는 개념이 독립과 종속입니다. 사건 AA가 일어났을 때 사건 BB의 조건부 확률이 사건 AA가 일어나지 않았을 때나 원래 사건 BB의 확률과 똑같을 때, 즉
P(B∣A)=P(B∣Ac)=P(B)P(B|A) = P(B|A^c) = P(B)
일 때 두 사건 AA와 BB는 서로 독립(Independent)이라고 하며, 독립이 아닌 두 사건을 서로 종속(Dependent)이라고 합니다. 조건부 확률 정의 P(B∣A)=P(A∩B)P(A)=P(B)P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = P(B)의 양변에 P(A)P(A)를 곱하면, 시험에서 두 사건의 독립 여부를 판별하는 유일한 실전 공식(곱셈정리)이 도출됩니다:
두 사건 A,B가 서로 독립이다⟺P(A∩B)=P(A)⋅P(B)\text{두 사건 } A, B\text{가 서로 독립이다} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf{P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}
🎯 독립 판별의 절대 원칙: 문제에서 '두 사건 A와 B가 독립인지 판별하시오'라고 나오면 직관이나 느낌으로 추측하면 100% 함정에 빠집니다! 반드시 P(A), P(B), P(A∩B) 세 값을 각각 구한 뒤 'P(A∩B) = P(A)×P(B)' 등식이 성립하는지 계산으로만 판별하세요!

2. 핵심 공식 유도 및 성질: 여사건의 독립성과 독립시행의 확률 공식

1) 독립인 두 사건의 여사건 성질: 두 사건 AA와 BB가 서로 독립이면, 다음 세 쌍의 사건들도 모두 자동으로 서로 독립입니다! - AA와 BcB^c도 독립   ⟹  P(A∩Bc)=P(A)P(Bc)=P(A){1−P(B)}\implies P(A \cap B^c) = P(A)P(B^c) = P(A)\{1 - P(B)\} - AcA^c와 BB도 독립   ⟹  P(Ac∩B)=P(Ac)P(B)\implies P(A^c \cap B) = P(A^c)P(B) - AcA^c와 BcB^c도 독립   ⟹  P(Ac∩Bc)=P(Ac)P(Bc)\implies P(A^c \cap B^c) = P(A^c)P(B^c) 2) 독립시행(Independent Trials)의 확률 공식 유도: 주사위나 동전을 여러 번 던지는 것처럼, 매 시행마다 어떤 사건 AA가 일어날 확률이 pp로 항상 일정하고 각 시행의 결과가 서로 독립인 시행을 독립시행이라 합니다. 11회 시행에서 사건 AA가 일어날 확률을 pp, 일어나지 않을 확률을 q=1−pq = 1 - p라 할 때, 이 시행을 nn번 반복하여 사건 AA가 정확히 rr번 일어날 확률은: - 먼저 nn번의 기회 중 사건 AA가 일어날 rr번의 순번을 고르는 조합의 수 nCr_n C_r에, - 각 경우마다 AA가 rr번(prp^r), AcA^c가 (n−r)(n - r)번(qn−rq^{n-r}) 일어나는 확률을 곱한 것과 같습니다:
P(X=r)=nCr pr(1−p)n−r(r=0,1,2,…,n)P(X = r) = {_n C_r} \, p^r (1 - p)^{n - r} \qquad (r = 0, 1, 2, \dots, n)

예제로 살펴보기

한 개의 주사위를 4번 던질 때, 3의 배수의 눈이 정확히 3번 나올 확률과 3의 배수의 눈이 적어도 1번 나올 확률을 각각 구하시오.
  1. 1) 주사위 1회 시행에서 3의 배수(3, 6)가 나올 확률은 p = 2/6 = 1/3 이고, 나오지 않을 확률은 1 - p = 2/3 입니다. 2) [정확히 3번 나올 확률]: n = 4, r = 3 인 독립시행 공식에 대입합니다. P(X = 3) = 4C3 × (1/3)³ × (2/3)¹ = 4 × (1/27) × (2/3) = 8/81 입니다. 3) [적어도 1번 나올 확률]: 여사건인 '4번 모두 3의 배수가 한 번도 안 나올 확률(r = 0)'을 1에서 뺍니다. P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 4C0 × (1/3)⁰ × (2/3)⁴ = 1 - 16/81 = 65/81 입니다.
확인: 두 사건 A, B가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은 P(A ∩ B) = P(A)P(B) 가 성립하는 것이다.

3. 심화 응용 및 실전 빈출 함정 분석: 마지막 회차가 고정된 타자 승리(프로시리즈) 문제

독립시행 단원에서 학생들이 가장 많이 틀리는 최고난도 빈출 함정 유형을 완벽히 분석합니다! 함정 (별표 5개): "nn번째 경기에서 최종 우승팀이 결정될 확률" (한국시리즈·월드시리즈 유형) "두 팀 A,BA, B가 경기를 하여 먼저 33승을 거두는 팀이 최종 우승하기로 한다. 매 경기에서 AA팀이 이길 확률이 12\frac{1}{2}일 때, 44번째 경기에서 AA팀이 우승으로 확정될 확률을 구하시오." - 흔히 하는 오답: "44번 경기해서 AA가 33승 11패를 하면 되니까 4C3(12)3(12)1=416=14_4 C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}이다!"   ⟹  \implies 완벽한 오답입니다! - 왜 틀렸을까?: 4C3_4 C_3의 44가지 경우 안에는 AA가 1,2,31, 2, 3차전을 연달아 다 이겨버린 (승, 승, 승, 패)(\text{승, 승, 승, 패})가 포함되어 있습니다. 하지만 33차전에서 이미 33승을 달성하면 그 순간 우승이 확정되어 44차전 경기는 아예 열리지도 않습니다! - 정석 해법 (마지막 회차 못 박기!): kk번째 시행에서 mm번째 성공이 달성되어 게임이 끝날 확률을 구할 때는 반드시 두 구간으로 나누어 곱해야 합니다: 1. 앞의 (k−1)(k - 1)번의 시행에서 (m−1)(m - 1)번만 성공할 독립시행 확률을 구하고, 2. 마지막 kk번째 시행에서는 무조건 성공(pp)해야 하므로 마지막 확률 pp를 따로 곱합니다! - 위 문제의 정답: 앞의 33경기에서 22승 11패를 하고 ×\times 마지막 44차전에서 AA가 승리해야 하므로:
{3C2(12)2(12)1}×12=38×12=316\left\{ {_3 C_2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^1 \right\} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \times \frac{1}{2} = \mathbf{\frac{3}{16}}
🚨 'n번째 시행에서 게임이 끝날 확률' 절대 공식: 전체 n번에 대해 nCr 공식을 쓰면 이미 그전에 게임이 끝난 경우까지 포함되어 100% 틀립니다! 반드시 '(n-1)번째까지 목표 직전 상태 도달(독립시행)' × '(마지막 n번째에 성공 확률 p)'로 쪼개어 계산하세요!

참고 근거와 확인 범위

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

참고 자료 연결 점검: 2026-11-02. 제작 방식·검수 범위와 수정 기록에서 확인 범위를 볼 수 있습니다. 오류는 상단의 의견 보내기 또는 contact@freelearn.io로 알려 주세요.

이 단원의 개념서 읽기 →