연습 문제

46. 다변수미적분: 편도함수와 그래디언트(∇f) (수학 대학 3)

문제에 답하고 제출하면 정답과 풀이를 확인할 수 있습니다. 한 세트는 5문항으로 구성됩니다.

아래의 기본 문제를 먼저 풀어 보세요. 자동 채점 화면은 자바스크립트가 켜진 브라우저에서 이용할 수 있습니다.

문제와 해설로 복습하기

이 단원의 기본 문제 5개입니다. 먼저 스스로 풀고, 힌트와 해설을 열어 풀이 과정을 비교해 보세요. 위의 채점 연습에서는 기본 문제를 다시 풀거나, 지원되는 수학 단원의 변형 문제를 풀 수 있습니다.

기본 문제 1

f(x,y)=x²y+3y²일 때 점 (2,1)에서 ∂f/∂x를 구하시오.
힌트 보기y를 상수로 보고 x에 대해 미분합니다.
정답과 풀이 보기
정답: 4

  1. 1. 풀이

    ∂f/∂x=2xy이고 (2,1)을 대입하면 4입니다.

기본 문제 2

f(x,y)=x²+3xy+y²일 때 점 (1,2)의 그래디언트 ∇f는?
  1. (8,7)
  2. (7,8)
  3. (4,7)
  4. (8,4)
힌트 보기x와 y 각각에 대한 편도함수를 구한 뒤 점을 대입합니다.
정답과 풀이 보기
정답: (8,7)

  1. 1. 풀이

    fₓ=2x+3y=8, fᵧ=3x+2y=7이므로 ∇f(1,2)=(8,7)입니다.

기본 문제 3

f(x,y)=x²+y²일 때 점 (1,-2)에서의 그래디언트는?
  1. (2,-4)
  2. (2,4)
  3. (-2,-4)
  4. (-2,4)
힌트 보기각 변수의 편도함수를 구합니다.
정답과 풀이 보기
정답: (2,-4)

  1. 1. 풀이

    ∇f=(2x,2y)이므로 (1,-2)에서 (2,-4)입니다.

기본 문제 4

f(x,y)=x²+y²의 점 (1,2)에서 선형화한 접평면을 z로 나타내시오.
  1. z=2x+4y-5
  2. z=2x+4y+5
  3. z=2x+4y-1
  4. z=2x+4y-7
힌트 보기z=f(a,b)+fₓ(a,b)(x-a)+fᵧ(a,b)(y-b)를 씁니다.
정답과 풀이 보기
정답: z=2x+4y-5

  1. 1. 풀이

    f(1,2)=5, 그래디언트는 (2,4)이므로 z=5+2(x-1)+4(y-2)=2x+4y-5입니다.

기본 문제 5

f(x,y)=x²+y²에서 점 (3,4) 방향의 변화율을 단위 방향벡터 기준으로 구하시오.
힌트 보기그래디언트 (6,8)과 단위 방향벡터 (3/5,4/5)의 내적을 계산합니다.
정답과 풀이 보기
정답: 10

  1. 1. 풀이

    (6,8)·(3/5,4/5)=18/5+32/5=10입니다.

참고 근거와 확인 범위

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