연습 문제

33. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 (수학 심화 4)

문제에 답하고 제출하면 정답과 풀이를 확인할 수 있습니다. 한 세트는 5문항으로 구성됩니다.

아래의 기본 문제를 먼저 풀어 보세요. 자동 채점 화면은 자바스크립트가 켜진 브라우저에서 이용할 수 있습니다.

문제와 해설로 복습하기

이 단원의 기본 문제 5개입니다. 먼저 스스로 풀고, 힌트와 해설을 열어 풀이 과정을 비교해 보세요. 위의 채점 연습에서는 기본 문제를 다시 풀거나, 지원되는 수학 단원의 변형 문제를 풀 수 있습니다.

기본 문제 1

수학적 귀납법으로 1+2+...+n=n(n+1)/2를 증명할 때, 기초 단계에서 확인해야 할 값은?
  1. n=1
  2. n=0만
  3. n이 무한대일 때
  4. n=1과 n=2만 확인하면 전체가 증명됨
힌트 보기명제가 처음 적용되는 자연수부터 확인합니다.
정답과 풀이 보기
정답: n=1

  1. 1. 풀이

    n=1이면 왼쪽은 1, 오른쪽은 1×2/2=1이므로 기초 단계가 성립합니다.

기본 문제 2

귀납 가정으로 k까지의 합이 k(k+1)/2라고 두었습니다. k+1까지의 합을 쓰시오.
  1. k(k+1)/2 + (k+1)
  2. k(k+1)/2 + k
  3. k(k+1)/2 + 1
  4. k(k+1)/2 + (k-1)
힌트 보기새 합에는 기존 합에 마지막 항 k+1을 더합니다.
정답과 풀이 보기
정답: k(k+1)/2 + (k+1)

  1. 1. 풀이

    1+...+k+(k+1)=[k(k+1)/2]+(k+1)=(k+1)(k+2)/2입니다.

기본 문제 3

첫 n개의 홀수의 합 1+3+...+(2n-1)은 어떤 식과 같습니까?
  1. n²
  2. 2n
  3. n(n+1)/2
  4. (2n-1)²
힌트 보기작은 n을 대입해 1, 4, 9, 16의 규칙을 확인합니다.
정답과 풀이 보기
정답: n²

  1. 1. 풀이

    귀납 가정에 새 홀수 2(k+1)-1=2k+1을 더하면 k²+2k+1=(k+1)²입니다.

기본 문제 4

모든 자연수 n에 대해 4ⁿ-1이 3의 배수임을 보일 때, 귀납 단계에서 4ᵏ-1=3m을 가정합니다. 4ᵏ⁺¹-1을 3의 배수 꼴로 쓰시오.
  1. 3(4m+1)
  2. 3(4m-1)
  3. 4(3m+1)
  4. 3(4m)+1
힌트 보기4ᵏ⁺¹-1=4(4ᵏ-1)+3으로 변형합니다.
정답과 풀이 보기
정답: 3(4m+1)

  1. 1. 풀이

    귀납 가정 4ᵏ-1=3m을 대입하면 4×3m+3=3(4m+1)이므로 3의 배수입니다.

기본 문제 5

귀납법에서 'n=1에서 참이고 n=k에서 참이라고 가정한다'까지만 보였습니다. 어떤 핵심 단계가 빠졌습니까?
  1. 가정으로 n=k+1에서도 성립함을 증명
  2. 수열의 극한을 계산
  3. 모든 실수에서 미분
  4. 결론을 먼저 가정
힌트 보기기초 사례와 모든 다음 사례를 잇는 연결 고리가 필요합니다.
정답과 풀이 보기
정답: 가정으로 n=k+1에서도 성립함을 증명

  1. 1. 풀이

    각 k에 대해 P(k)에서 P(k+1)이 따라옴을 보여야 모든 자연수로 결론을 확장할 수 있습니다.

참고 근거와 확인 범위

설명·예제·문제 구성 및 오류 수정 책임: 프리런. 위 자료는 표시한 주제를 확인하거나 더 읽기 위한 근거이며, 외부 기관의 공식 수업이나 감수본을 뜻하지 않습니다.

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