연습 문제

48. 실해석학: 측도론과 르베그 적분 (수학 연구 1)

문제에 답하고 제출하면 정답과 풀이를 확인할 수 있습니다. 한 세트는 5문항으로 구성됩니다.

아래의 기본 문제를 먼저 풀어 보세요. 자동 채점 화면은 자바스크립트가 켜진 브라우저에서 이용할 수 있습니다.

문제와 해설로 복습하기

이 단원의 기본 문제 5개입니다. 먼저 스스로 풀고, 힌트와 해설을 열어 풀이 과정을 비교해 보세요. 위의 채점 연습에서는 기본 문제를 다시 풀거나, 지원되는 수학 단원의 변형 문제를 풀 수 있습니다.

기본 문제 1

실수선에서 구간 [2,5]의 르베그 측도는 얼마입니까?
힌트 보기구간의 길이를 계산합니다.
정답과 풀이 보기
정답: 3

  1. 1. 풀이

    구간의 길이는 5-2=3이므로 르베그 측도는 3입니다.

기본 문제 2

[0,1] 안의 유리수 집합의 르베그 측도는 얼마입니까?
힌트 보기유리수는 가산집합이고 각 한 점은 측도 0입니다.
정답과 풀이 보기
정답: 0

  1. 1. 풀이

    가산개의 측도 0 집합의 합집합은 측도 0이므로 유리수 집합의 측도는 0입니다.

기본 문제 3

시그마 대수는 어떤 집합 연산에 대해 닫혀 있어야 합니까?
  1. 여집합과 가산 합집합
  2. 유한 교집합만
  3. 순서쌍의 곱만
  4. 미분과 적분
힌트 보기측정 가능한 사건들을 셀 수 있게 결합하고 보완할 수 있어야 합니다.
정답과 풀이 보기
정답: 여집합과 가산 합집합

  1. 1. 풀이

    시그마 대수는 전체집합을 포함하고 여집합 및 가산 합집합에 대해 닫혀 있습니다.

기본 문제 4

지시함수 1_A의 르베그 적분 ∫1_A dμ는 무엇과 같습니까?
  1. μ(A)
  2. μ(Aᶜ)
  3. μ(X)
  4. μ(A)+1
힌트 보기A에서는 값이 1, 바깥에서는 0인 함수를 적분합니다.
정답과 풀이 보기
정답: μ(A)

  1. 1. 풀이

    함수가 1인 집합 A의 측도만 누적되므로 적분은 μ(A)입니다.

기본 문제 5

측정 가능한 함수 f,g가 거의 모든 곳에서 0≤f≤g를 만족하면 적분 사이에 어떤 관계가 있습니까?
  1. ∫f dμ ≤ ∫g dμ
  2. 항상 ∫f dμ > ∫g dμ
  3. 두 적분은 항상 같다
  4. 적분은 정의되지 않는다
힌트 보기르베그 적분은 함수의 점별 순서를 보존합니다.
정답과 풀이 보기
정답: ∫f dμ ≤ ∫g dμ

  1. 1. 풀이

    비음수 함수의 단조성에 따라 f≤g이면 적분도 ∫f dμ≤∫g dμ입니다.

참고 근거와 확인 범위

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